线性代数

一：向量究竟是什么

线性代数中最基础，最根源的组成部分就是向量。一般来说，有三种看待向量的观点：

1. 从物理学家的视角来看：向量是空间中的箭头，决定一个向量是它的长度和它所指的方向。其中平面的向量是二维的，处在我们生活的向量是三维的。只要长度和方向相同，我们就可以自由的移动它而向量不会发生改变。
2. 从计算机学家的角度来看：向量是有序的数字列表。比如正在做一些有关房价的分析，我们只用关注两个特征：房屋面积和价格。我们会用一对数字对房屋进行建模：

第一个是房屋面积，第二个字段是价格。注意，这里的数字顺序是不能颠倒的。我们会用二维向量对房屋进行建模

3. 数学家会试图概括这两种观点：大致地说，向量可以是任何东西。只要保证向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。

总之，向量的加法和向量的数乘贯穿线性代数始终，二者起到很重要的作用。

二：线性变换

变换指的是输入变量，并输出结果的过程。任意一个变换可以非常复杂。其中线性变换就指的是一类特殊的变换。

在几何意义上，如果一个直线在变换后依然保持直线，不能有所弯曲，并且原点必须固定。那么这就是线性变换。

总的来说，就是保持网格平行且等距分布。部分线性变换很容易思考，比如关于原点的旋转，缩放，斜切。

接下来就是用数值去描述线性变换。提供一个向量，进行线性变换后，得到另一个向量。

实际结果是，只需要记录和 变换后的位置。其他向量都会随之而动。

三：矩阵和向量的相乘

线性变化由它对空间的基向量的作用完全决定，这是因为，其他任意向量，都能表示成基向量的线性组合。

在线性变化之后，网格线保持平行并等距分布这一性质有一个绝妙的推论：

只要记录基向量线性变换后的位置，就能知道任意向量变换后的坐标。就是向量 x 乘以 ，再加上向量 y 乘以

比如有一个向量就等于，然后进行了一个线性变换，使得,那么向量的变换就是

也就是把向量的乘法，转换为了向量的数乘和相加。

其中，我们把称之为,称之为

因此，可以扩展到 n 维向量和矩阵的乘法：

其中：

而矩阵与向量相乘，就是将线性变化作用于这个向量。

四：矩阵的乘法

很多时候，会想去描述这样一种作用：一个变换之后，在进行另一个变化。比如，想进行描述，先旋转，再斜切。总的来说，是一种复合的线性变换。

我们应该如何去描述这种复合变换呢？这就是矩阵的乘法：

需要注意的是，矩阵的乘法是从右向左的。我们可以理解为： 和 ，先进行了右边的矩阵变换，再进行了左边的矩阵变换。

和 先移动到了的位置，进行向量和矩阵的乘法。再是向量进行乘法，最后的结果就是矩阵的乘法。

我们可以扩展到 n 维的情况：

假设两个变换分别为：

矩阵乘法 的结果为：

其中：

五：仿射变换

线性变换从几何直观有三个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线
• 直线比例保持不变
• 变换前是原点的，变换后依然是原点

从数值上来说，线性变换是通过矩阵乘法来实现的。

仿射变换从几何直观只有两个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线
• 直线比例保持不变

少了原点保持不变这一条。比如平移，就是仿射变换而不是线性变换，因为原点移动了。

所以从数值上来说，仿射变换不仅需要矩阵的乘法，还需要加法。

对于以上公式，我们可以进行升维，从而将平移变成线性变换。

在增加一个维度后，我们可以在高维度通过线性变换来完成低纬度的仿射变换。

在几何上可以理解为，增加了一个轴，使得平移变成了在方向上的变换。从而保证了网格线保持平行并等距分布。